题目回顾
（2025年天府大联考·数学第9题）
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，点 $F$ 为其右焦点，直线 $l: x = -\frac{a^2}{c}$ ($c$ 为焦距) 与 $x$ 轴的交点为 $H$，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 的中点，直线 $HQ$ 与椭圆 $C$ 在点 $M$ 处的切线垂直，则 $\frac{|MN|}{|MQ|}$ 的值为：
A. $\sqrt{2}$
B. $2$
C. $\sqrt{3}$
D. $3$
解题思路分析
这道题的解题路径非常清晰,属于典型的“几何问题代数化”策略，核心思路是：
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第一步：利用已知条件，确定椭圆方程。
（图片来源网络，侵删）- 题目给出了离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，这是一个关键的等量关系。
- 我们还知道椭圆的基本关系 $c^2 = a^2 - b^2$。
- 通过这两个方程,我们可以求出 $a, b, c$ 之间的比例关系，从而简化椭圆方程，通常我们会设 $a^2 = 2k$，这样可以消去根号，方便后续计算。
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第二步：设定直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理。
- 题目中涉及过点 $F$ 的直线 $MN$，由于 $F$ 是右焦点，其坐标为 $(c, 0)$。
- 为了避免讨论斜率不存在的情况（即MN垂直于x轴），我们可以使用点斜式或斜截式来设定直线MN的方程，使用点斜式 $y = k(x-c)$ 是一个不错的选择。
- 将直线方程代入椭圆方程,得到一个关于 $x$ 的一元二次方程。
- 设 $M(x_1, y_1)$, $N(x_2, y_2)$，根据韦达定理，我们可以得到 $x_1+x_2$ 和 $x_1x_2$ 的表达式，这将是后续计算的基础。
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第三步：利用中点坐标和垂直条件，建立关于斜率 $k$ 的方程。
- 中点Q：Q是MN的中点，其坐标 $Q(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ 可以用韦达定理的结果表示出来。
- 切线斜率：题目提到“椭圆C在点M处的切线”，我们需要用到椭圆的切线斜率公式，对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其上一点 $(x_0, y0)$ 处的切线斜率为 $k{\text{切}} = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y0}$，在点M处的切线斜率为 $k{\text{切}} = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$。
- 垂直条件：题目说“直线HQ与椭圆C在点M处的切线垂直”，这意味着它们的斜率乘积为 -1，即 $k{HQ} \cdot k{\text{切}} = -1$。
- 我们可以先求出 $k_{HQ}$，点 $H$ 的坐标为 $(-\frac{a^2}{c}, 0)$，点Q的坐标已经用 $x_1, x_2, y_1, y2$ 表示。$k{HQ} = \frac{\frac{y_1+y_2}{2} - 0}{\frac{x_1+x_2}{2} - (-\frac{a^2}{c})} = \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2 + \frac{2a^2}{c}}$。
- 将 $k{HQ}$ 和 $k{\text{切}}$ 代入垂直关系式，得到一个复杂的方程，这个方程中会包含 $x_1, x_2, y_1, y_2, k$，我们需要利用 $y_1 = k(x_1-c)$ 和 $y_2 = k(x_2-c)$，以及韦达定理的结果，将这个方程化简，最终解出斜率 $k$ 的值，这一步是计算的关键和难点。
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第四步：计算所求比值。
- 一旦我们求出了直线MN的斜率 $k$，就可以回到第二步的联立方程中，求出 $|x_1-x_2|$。
- 利用弦长公式 $|MN| = \sqrt{1+k^2} |x_1-x_2|$，可以求出 $|MN|$。
- $|MQ|$ 是线段MN长度的一半，即 $|MQ| = \frac{1}{2} |MN|$。
- $\frac{|MN|}{|MQ|} = \frac{|MN|}{\frac{1}{2}|MN|} = 2$。
Wait, let's double-check that. The question asks for $\frac{|MN|}{|MQ|}$. Since Q is the midpoint of MN, $|MQ| = |QN| = \frac{1}{2}|MN|$. So, $\frac{|MN|}{|MQ|} = \frac{|MN|}{\frac{1}{2}|MN|} = 2$. This seems too straightforward and doesn't require finding k. Let's re-read the question carefully.
（图片来源网络，侵删）"直线 $HQ$ 与椭圆 $C$ 在点 $M$ 处的切线垂直" - This condition is the key. It's not just any line from H to the midpoint Q. It's specifically the line HQ that is perpendicular to the tangent at M. This condition must be used to find the specific configuration of the line MN. My initial thought that the ratio is always 2 is incorrect because Q is defined as the midpoint of MN, but the condition on HQ imposes a restriction on which line MN is. So, we must use the condition to find k, and then proceed.
Let's restart the calculation from step 3.
详细解题步骤
第一步：确定椭圆方程
- 由离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，可得 $c = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。
- 由椭圆关系 $c^2 = a^2 - b^2$，代入上式： $(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2 = a^2 - b^2 \implies \frac{1}{2}a^2 = a^2 - b^2 \implies b^2 = \frac{1}{2}a^2$。
- $a^2 = 2b^2$，我们不妨设 $a^2 = 2$, $b^2 = 1$，则 $c^2 = a^2 - b^2 = 1$，即 $c=1$。
- 椭圆方程为 $C: \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$。
- 点 $F$ 为右焦点，坐标为 $(c, 0) = (1, 0)$。
- 直线 $l: x = -\frac{a^2}{c} = -\frac{2}{1} = -2$，它与x轴的交点为 $H(-2, 0)$。
第二步：联立方程，应用韦达定理
- 设过点 $F(1, 0)$ 的直线 $MN$ 的斜率为 $k$，其方程为 $y = k(x-1)$。
- 将 $y = k(x-1)$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$： $\frac{x^2}{2} + [k(x-1)]^2 = 1$ $\frac{x^2}{2} + k^2(x^2 - 2x + 1) = 1$ $(\frac{1}{2} + k^2)x^2 - 2k^2x + (k^2 - 1) = 0$
- 设 $M(x_1, y_1)$, $N(x_2, y_2)$，则 $x_1, x_2$ 是上述方程的两个根。
- 根据韦达定理： $x_1 + x_2 = \frac{2k^2}{\frac{1}{2} + k^2} = \frac{4k^2}{1 + 2k^2}$ $x_1x_2 = \frac{k^2 - 1}{\frac{1}{2} + k^2} = \frac{2(k^2 - 1)}{1 + 2k^2}$
第三步：利用垂直条件求解斜率 $k$
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点Q的坐标：Q是MN的中点， $Q(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{2k^2}{1+2k^2}, \frac{k(x_1-1)+k(x_2-1)}{2}) = (\frac{2k^2}{1+2k^2}, \frac{k(x_1+x_2)-2k}{2})$ 代入 $x_1+x_2$ 的值： $y_Q = \frac{k(\frac{4k^2}{1+2k^2}) - 2k}{2} = \frac{\frac{4k^3 - 2k(1+2k^2)}{1+2k^2}}{2} = \frac{\frac{4k^3 - 2k - 4k^3}{1+2k^2}}{2} = \frac{-2k}{2(1+2k^2)} = \frac{-k}{1+2k^2}$ $Q(\frac{2k^2}{1+2k^2}, \frac{-k}{1+2k^2})$。
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切线斜率：椭圆 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 在点 $M(x_1, y1)$ 处的切线斜率为： $k{\text{切}} = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} = -\frac{1 \cdot x_1}{2 \cdot y_1} = -\frac{x_1}{2y_1}$。
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直线HQ的斜率：点 $H(-2, 0)$，点 $Q(\frac{2k^2}{1+2k^2}, \frac{-k}{1+2k^2})$。 $k_{HQ} = \frac{\frac{-k}{1+2k^2} - 0}{\frac{2k^2}{1+2k^2} - (-2)} = \frac{-k}{\frac{2k^2 + 2(1+2k^2)}{1+2k^2}} = \frac{-k}{2k^2 + 2 + 4k^2} = \frac{-k}{6k^2 + 2} = \frac{-k}{2(3k^2 + 1)}$。
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利用垂直条件 $k{HQ} \cdot k{\text{切}} = -1$： $[\frac{-k}{2(3k^2 + 1)}] \cdot [-\frac{x_1}{2y_1}] = -1$ $\frac{kx_1}{4(3k^2 + 1)y_1} = -1$ $kx_1 = -4(3k^2 + 1)y_1$
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化简求解 $k$： 因为点 $M(x_1, y_1)$ 在直线 $MN$ 上，$y_1 = k(x_1 - 1)$。 将其代入上式： $kx_1 = -4(3k^2 + 1) \cdot k(x_1 - 1)$ 我们需要讨论 $k$ 是否为0。
- 若 $k=0$，则直线MN为 $y=0$（x轴），它与椭圆交于 $M(\sqrt{2}, 0)$, $N(-\sqrt{2}, 0)$，中点为 $Q(0, 0)$。 直线HQ为从 $H(-2, 0)$ 到 $Q(0, 0)$ 的直线，即x轴，斜率为0。 椭圆在点M$(\sqrt{2}, 0)$处的切线方程为 $\frac{\sqrt{2}x}{2} + 0 \cdot y = 1$，即 $x=\sqrt{2}$，这是一条垂直于x轴的直线，斜率不存在。 斜率为0的直线与斜率不存在的直线是垂直的。$k=0$ 是一个解。
- 若 $k \neq 0$，我们可以两边同时除以 $k$： $x_1 = -4(3k^2 + 1)(x_1 - 1)$ $x_1 = -12k^2x_1 + 4(3k^2 + 1)$ $x_1 + 12k^2x_1 = 12k^2 + 4$ $x_1(1 + 12k^2) = 4(3k^2 + 1)$ $x_1 = \frac{4(3k^2 + 1)}{1 + 12k^2}$ 我们利用 $x_1$ 是二次方程 $(\frac{1}{2} + k^2)x^2 - 2k^2x + (k^2 - 1) = 0$ 的根，代入 $x_1$： $(\frac{1}{2} + k^2)[\frac{4(3k^2 + 1)}{1 + 12k^2}]^2 - 2k^2[\frac{4(3k^2 + 1)}{1 + 12k^2}] + (k^2 - 1) = 0$ 这个方程非常复杂，计算量巨大，通常在考试中，如果发现计算过于复杂，可能意味着之前的路径或有更优解，或者某个特殊情况（如 $k=0$）就是正确答案。
第四步：分析并得出结论
我们已经验证了当 $k=0$ 时，题目的所有条件都满足。 在这种情况下：
- 直线 $MN$ 是x轴，与椭圆 $C$ 的交点为 $M(\sqrt{2}, 0)$ 和 $N(-\sqrt{2}, 0)$。
- 线段 $MN$ 的长度为 $|MN| = \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$。
- 中点 $Q$ 的坐标为 $(0, 0)$。
- $|MQ|$ 是点 $M(\sqrt{2}, 0)$ 到中点 $Q(0, 0)$ 的距离，$|MQ| = \sqrt{(\sqrt{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2}$。
- 所求比值为 $\frac{|MN|}{|MQ|} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$。
这个结果与选项 B 完全吻合，由于这是一个选择题，我们通过验证一个满足条件的特殊情况，就足以确定正确答案，这比解那个复杂的高次方程要高效得多。
$\frac{|MN|}{|MQ|}$ 的值为 2。
最终答案
B. $2$
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