（2025天府大联考·理10） 已知圆 $C$ 的方程为 $(x-2)^2 + y^2 = 4$，点 $P$ 是圆 $C$ 上的动点，点 $M$ 的坐标为 $(1, 0)$，线段 $PM$ 的垂直平分线与直线 $PC$ 相交于点 $Q$，则点 $Q$ 的轨迹方程为（ ）
A. $(x-2)^2 + y^2 = 1$ B. $(x-2)^2 + y^2 = 4$ C. $(x-1)^2 + y^2 = 1$ D. $(x-1)^2 + y^2 = 4$
解题思路分析
这道题的核心是轨迹方程的求解，求动点轨迹的基本思路是：建立坐标系，设出动点坐标，根据几何条件，列出关于动点坐标的等式，化简即可得到轨迹方程。
具体步骤如下：
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审题与画图：
（图片来源网络，侵删）- 圆 $C$ 的方程 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ 表明，圆心 $C$ 的坐标是 $(2, 0)$，半径 $r=2$。
- 点 $M$ 的坐标是 $(1, 0)$。
- 画出坐标系,标出点 $C(2, 0)$ 和点 $M(1, 0)$，可以观察到，点 $M$ 在圆 $C$ 的内部（因为 $|CM| = |2-1| = 1 < 2$）。
- 点 $P$ 是圆 $C$ 上的一个动点，$|PC| = 2$。
- 关键是理解“线段 $PM$ 的垂直平分线”和“直线 $PC$”的交点 $Q$。
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理解几何关系：
- $Q$ 在 $PM$ 的垂直平分线上，根据垂直平分线的定义，$Q$ 到 $P$ 的距离等于 $Q$ 到 $M$ 的距离，即 $|QP| = |QM|$。
- $Q$ 在直线 $PC$ 上，这意味着 $P$, $Q$, $C$ 三点共线。$|QC| + |QP| = |PC|$。
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建立等量关系（核心步骤）：
- 我们已经知道 $|PC| = 2$（因为 $P$ 在圆 $C$ 上）。
- 根据上面的几何关系,我们有 $|QC| + |QP| = |PC| = 2$。
- 又因为 $|QP| = |QM|$，所以我们可以将上式中的 $|QP|$ 替换掉。
- 得到：$|QC| + |QM| = 2$。
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识别轨迹类型：
- 现在我们得到了一个关于点 $Q$ 的等式：点 $Q$ 到两个定点 $C(2, 0)$ 和 $M(1, 0)$ 的距离之和等于一个常数 $2$。
- 这正是椭圆的几何定义：平面内与两个定点（焦点）的距离之和为常数（大于两定点间距离）的点的轨迹。
- 这里,两个定点是 $C$ 和 $M$，常数是 $2$。
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计算并确定椭圆方程：
- 设点 $Q$ 的坐标为 $(x, y)$。
- 根据椭圆定义,$|QC| + |QM| = 2a$。$2a = 2$，即 $a = 1$。
- 椭圆的两个焦点是 $C(2, 0)$ 和 $M(1, 0)$，焦距 $2c$ 是两点间的距离。 $2c = |C - M| = \sqrt{(2-1)^2 + (0-0)^2} = 1$，$c = \frac{1}{2}$。
- 根据椭圆的性质 $a^2 = b^2 + c^2$，可以求出 $b^2$： $b^2 = a^2 - c^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
- 椭圆的中心是两个焦点的中点,坐标为 $(\frac{2+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1.5, 0)$。
- 由于焦点在 $x$ 轴上，椭圆的标准方程为 $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，$(h, k)$ 是中心坐标。
- 代入数值,得到轨迹方程为： $\frac{(x-\frac{3}{2})^2}{1^2} + \frac{(y-0)^2}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = 1$ 即 $(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{4y^2}{3} = 1$。
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检查选项与重新审视问题：
我们得到的方程是 $(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{4y^2}{3} = 1$，但这个方程在给定的选项中并没有出现，这意味着我们可能在某个环节的理解上出现了偏差，或者题目本身有更巧妙的解法。
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重新审视几何关系（发现更简单的路径）：
- 让我们回到第3步的等式：$|QC| + |QP| = 2$。
- 我们知道 $|QP| = |QM|$，$|QC| + |QM| = 2$。
- 我们是否忽略了什么？$P$, $Q$, $C$ 三点共线，这意味着 $|QC|$ 和 $|QP|$ 是在同一条直线上的线段长度。
- 我们来分析 $Q$ 的位置，因为 $P$ 在圆上，$M$ 在圆内，$Q$ 是 $PM$ 的垂直平分线与 $PC$ 的交点。
- 当 $P$ 在 $M$ 的右侧时（$P(4,0)$），$PC$ 是从左到右的射线。$PM$ 的垂直平分线是一条竖线，它们的交点 $Q$ 一定在 $P$ 和 $C$ 之间。$|QC| + |QP| = |PC|$。
- 当 $P$ 在 $M$ 的左侧时（$P(0,0)$），$PC$ 是从右到左的射线。$PM$ 的垂直平分线仍然是一条竖线，它们的交点 $Q$ 依然在 $P$ 和 $C$ 之间。$|QC| + |QP| = |PC|$。
- 无论 $P$ 在何处，只要 $Q$ 是这两条线的交点，就一定有 $|QC| + |QP| = |PC|$，这个关系是正确的。
- 那问题出在哪里？让我们重新审视 $|QC| + |QM| = 2$ 这个结论。
- $|QC| + |QM| = 2$。
- 我们知道 $|MC| = 1$。
- 我们发现 $|QC| + |QM| = 2 = |MC| + 1$，这看起来不像一个标准的圆锥曲线定义。
- 让我们换一种思路,直接使用距离公式进行代数推导，这通常是最稳妥的方法。
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代数法求解（标准解法）：
- 设点：设动点 $P(x_1, y_1)$，目标点 $Q(x, y)$。
- 条件1：P在圆C上 $(x_1-2)^2 + y_1^2 = 4$ --- (1)
- 条件2：Q在直线PC上 直线 $PC$ 的斜率是 $k_{PC} = \frac{y_1-0}{x_1-2} = \frac{y_1}{x1-2}$。 直线 $PQ$ (即 $PC$) 的斜率是 $k{PQ} = \frac{y-y_1}{x-x1}$。 因为 $P, Q, C$ 共线，$k{PC} = k_{PQ}$。 $\frac{y_1}{x_1-2} = \frac{y-y_1}{x-x_1}$。 化简：$y_1(x-x_1) = (y-y_1)(x_1-2)$ $y_1x - y_1x_1 = yx_1 - 2y - y_1x_1 + 2y_1$ $y_1x = yx_1 - 2y + 2y_1$ $y_1x - 2y_1 = yx_1 - 2y$ $y_1(x-2) = y(x_1-2)$ --- (2)
- 条件3：Q在PM的垂直平分线上 这意味着 $|QP| = |QM|$。 $\sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2}$ 平方后得到： $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = (x-1)^2 + y^2$ $x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$ $-2xx_1 + x_1^2 - 2yy_1 + y_1^2 = -2x + 1$ --- (3)
- 联立化简： 我们的目的是消去 $x_1, y_1$，得到只关于 $x, y$ 的方程。 从(1)式，我们知道 $x_1^2 - 4x_1 + 4 + y_1^2 = 4$，即 $x_1^2 + y_1^2 = 4x_1$。 将这个结果代入(3)式： $-2xx_1 + (4x_1) - 2yy_1 = -2x + 1$ $(-2x+4)x_1 - 2yy_1 = -2x + 1$ --- (3') 现在我们有(2)式 $y_1(x-2) = y(x_1-2)$ 和 (3')式 $(-2x+4)x_1 - 2yy_1 = -2x + 1$。 可以将(2)式改写为 $y_1 = \frac{y(x_1-2)}{x-2}$ （注意 $x \ne 2$，当 $x=2$ 时，$Q$ 点为 $(2,0)$，代入选项验证不成立，故 $x \ne 2$）。 将 $y_1$ 代入 (3') 式： $(-2x+4)x_1 - 2y \left( \frac{y(x_1-2)}{x-2} \right) = -2x + 1$ $(-2x+4)x_1 - \frac{2y^2(x_1-2)}{x-2} = -2x + 1$ 观察到 $-2x+4 = -2(x-2)$， $-2(x-2)x_1 - \frac{2y^2(x_1-2)}{x-2} = -2x + 1$ 将所有项乘以 $(x-2)$ 消去分母： $-2(x-2)^2x_1 - 2y^2(x_1-2) = (-2x+1)(x-2)$ $-2(x-2)^2x_1 - 2y^2x_1 + 4y^2 = -2x^2 + 4x + x - 2$ $[-2(x-2)^2 - 2y^2]x_1 + 4y^2 = -2x^2 + 5x - 2$ 这个过程依然非常复杂，说明我们可能走了一条弯路。
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回到几何本质，寻找最简路径：
- 我们的核心关系是 $|QC| + |QM| = 2$。
- 让我们再次审视这个关系。$|QC|$ 是点 $Q$ 到圆心 $C$ 的距离。
- 我们能否将 $|QM|$ 和 $|QC|$ 联系起来？
- 让我们考虑一个特殊情况：当 $P$ 运动到 $(2, 2)$ 或 $(2, -2)$ 时。
- 若 $P(2, 2)$，则 $PC$ 是 $x=2$。$PM$ 的中点是 $(1.5, 1)$，$PM$ 的斜率是 $\frac{2-0}{2-1}=2$，所以其垂直平分线斜率是 $-1/2$。 垂直平分线方程为 $y-1 = -\frac{1}{2}(x-1.5)$。 与 $x=2$ 的交点 $Q$ 为 $(2, 1 - \frac{1}{2}(2-1.5)) = (2, 1-0.25) = (2, 0.75)$。 我们检查选项： A: $(2-2)^2 + 0.75^2 = 0.5625 \ne 1$ B: $(2-2)^2 + 0.75^2 = 0.5625 \ne 4$ C: $(2-1)^2 + 0.75^2 = 1 + 0.5625 = 1.5625 \ne 1$ D: $(2-1)^2 + 0.75^2 = 1 + 0.5625 = 1.5625 \ne 4$ 等等，这不可能！ 我在计算垂直平分线时出错了。 $PM$ 的中点是 $((2+1)/2, (2+0)/2) = (1.5, 1)$，正确。 $PM$ 的斜率是 $(2-0)/(2-1) = 2$，正确。 垂直平分线斜率是 $-1/2$，正确。 垂直平分线方程：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1.5)$，正确。 求 $Q$：$x=2$，代入得 $y-1 = -\frac{1}{2}(0.5) = -0.25$。$y = 1 - 0.25 = 0.75$，计算正确。 代入选项都不成立，这说明什么？说明这道题的选项有误，或者题目本身有误。 让我们再检查一次几何关系。 $Q$ 是 $PM$ 的垂直平分线与 $PC$ 的交点。 $|QP| = |QM|$ (因为 $Q$ 在 $PM$ 的垂直平分线上)。 $|QC| + |QP| = |PC|$ (因为 $P, Q, C$ 共线，且 $Q$ 在 $P, C$ 之间)。 $|PC| = 2$ (因为 $P$ 在圆 $C$ 上)。 $|QC| + |QM| = 2$。 这个逻辑链条是完美的。 让我们再试一个特殊点：$P(0,0)$。 $P(0,0)$ 在圆上：$(0-2)^2+0^2=4$，成立。 $PC$ 是 $y=0$ (x轴)。 $PM$ 的中点是 $(0.5, 0)$，$PM$ 的斜率是 $0$，所以其垂直平分线是 $x=0.5$。 $Q$ 是 $y=0$ 和 $x=0.5$ 的交点，$Q(0.5, 0)$。 我们检查 $|QC| + |QM|$： $|QC| = |2 - 0.5| = 1.5$。 $|QM| = |1 - 0.5| = 0.5$。 $|QC| + |QM| = 1.5 + 0.5 = 2$，关系成立。 现在我们用 $Q(0.5, 0)$ 来检验选项： A: $(0.5-2)^2 + 0^2 = (-1.5)^2 = 2.25 \ne 1$ B: $(0.5-2)^2 + 0^2 = 2.25 \ne 4$ C: $(0.5-1)^2 + 0^2 = (-0.5)^2 = 0.25 \ne 1$ D: $(0.5-1)^2 + 0^2 = 0.25 \ne 4$ 依然没有一个选项成立！ 这强烈表明题目或选项存在严重问题。
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对题目进行合理修正并求解
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这类问题通常的模型是：求 $|QC| - |QM|$ 的轨迹，或者 $|QM|$ 的轨迹。
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我们的关系是 $|QC| + |QM| = 2$。
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我们知道 $|MC| = 1$。
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根据三角形两边之和大于第三边,$|QC| + |QM| \ge |MC|$，即 $2 \ge 1$，成立。
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我们考虑 $|QC| - |QM|$。
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$(|QC| + |QM|)(|QC| - |QM|) = |QC|^2 - |QM|^2$
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$|QC|^2 - |QM|^2 = [(x-2)^2+y^2] - [(x-1)^2+y^2] = (x^2-4x+4) - (x^2-2x+1) = -2x+3$
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$2(|QC| - |QM|) = -2x+3$，即 $|QC| - |QM| = -x + \frac{3}{2}$，这没什么用。
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让我们重新审视最初的几何关系,是不是 $Q$ 的位置理解错了？
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“线段 $PM$ 的垂直平分线与直线 $PC$ 相交于点 $Q$”。
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当 $P$ 在 $M$ 右侧时，$Q$ 在 $P, C$ 之间。$|QC|+|QP|=|PC|$。
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当 $P$ 在 $M$ 左侧时，$P$ 在 $(0,0)$，$Q$ 在 $(0.5,0)$，也在 $P, C$ 之间。$|QC|+|QP|=|PC|$。
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当 $P$ 在 $(2,2)$，$Q$ 在 $(2,0.75)$，也在 $P, C$ 之间。$|QC|+|QP|=|PC|$。
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几何关系理解无误。
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$|QC|+|QM|=2$ 无误。
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代数推导和特殊点验证都表明给定的选项是错误的。
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这道题最可能的原型是什么？
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常见模型1：求 $|QM|$ 的轨迹。 我们有 $|QC| + |QM| = 2$。 $|QC| = \sqrt{(x-2)^2+y^2}$。 $|QM| = \sqrt{(x-1)^2+y^2}$。 $\sqrt{(x-2)^2+y^2} = 2 - \sqrt{(x-1)^2+y^2}$。 平方两边：$(x-2)^2+y^2 = 4 - 4\sqrt{(x-1)^2+y^2} + (x-1)^2+y^2$。 化简：$x^2-4x+4 = 4 - 4\sqrt{(x-1)^2+y^2} + x^2-2x+1$。 $-4x+4 = -4\sqrt{(x-1)^2+y^2} -2x+5$。 $-2x-1 = -4\sqrt{(x-1)^2+y^2}$。 $2x+1 = 4\sqrt{(x-1)^2+y^2}$。 再次平方：$(2x+1)^2 = 16((x-1)^2+y^2)$。 $4x^2+4x+1 = 16(x^2-2x+1+y^2)$。 $4x^2+4x+1 = 16x^2-32x+16+16y^2$。 $0 = 12x^2-36x+15+16y^2$。 $12x^2-36x+16y^2 = -15$。 $12(x^2-3x) + 16y^2 = -15$。 $12(x^2-3x+\frac{9}{4}) + 16y^2 = -15 + 12 \cdot \frac{9}{4}$。 $12(x-\frac{3}{2})^2 + 16y^2 = -15 + 27 = 12$。 两边同除以12：$(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{4}{3}y^2 = 1$。 这是正确的轨迹方程，但不在选项中。
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常见模型2：题目描述有误。 最常见的错误是把“垂直平分线”写成了“切线”。
- 假设题目是： “过点 $M$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $T$，线段 $PT$ 与直线 $CM$ 相交于点 $Q$...” 这样会非常复杂。
- 假设题目是： “点 $Q$ 满足 $|QC| = 2|QM|$”，这也不是标准模型。
- 假设题目是： “求 $|QM|$ 的最大/最小值”，这也不是轨迹问题。
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常见模型3：选项有误。 这是最可能的情况，正确的方程是 $(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{4}{3}y^2 = 1$，这个椭圆的中心是 $(1.5, 0)$，长半轴 $a=1$，短半轴 $b=\sqrt{3}/2$。
- 我们看选项 C: $(x-1)^2 + y^2 = 1$，这是一个圆，圆心 $(1,0)$，半径 $1$。
- 我们看选项 D: $(x-1)^2 + y^2 = 4$，这是一个圆，圆心 $(1,0)$，半径 $2$。
- 我们看选项 A: $(x-2)^2 + y^2 = 1$，这是一个圆，圆心 $(2,0)$，半径 $1$。
- 我们看选项 B: $(x-2)^2 + y^2 = 4$，这是题目中给出的圆 $C$。
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让我们重新审视题目，看是否有其他理解方式。
- “线段 $PM$ 的垂直平分线”... “直线 $PC$”...
- 有没有可能 $Q$ 不是 $PM$ 垂直平分线与 $PC$ 的交点，而是 $PM$ 垂直平分线与以 $PC$ 为直径的圆的交点？这也不太可能。
- 有没有可能是 $|QC|^2 + |QM|^2$ 之类的？也不太可能。
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基于严谨的数学推导，这道题的选项是错误的。 正确的轨迹方程是 $(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{4}{3}y^2 = 1$。
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在考试中，我们必须选择一个答案。 这时候，我们需要猜测出题人的意图。
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让我们回到我们的关系式：$|QC| + |QM| = 2$。
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如果我们把 $M$ 点看作是“伪焦点”，$C$ 点是“真焦点”，$2$ 是常数。
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我们发现,这个椭圆的长轴长度 $2a=2$，$a=1$。
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椭圆的中心在 $C(2,0)$ 和 $M(1,0)$ 的中点 $(1.5, 0)$。
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椭圆的两个顶点（长轴端点）应该在中心两侧 $a=1$ 的地方。
- 一个顶点是 $(1.5-1, 0) = (0.5, 0)$。
- 另一个顶点是 $(1.5+1, 0) = (2.5, 0)$。
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我们来检查这两个点是否在选项的图形上。
- 点 $(0.5, 0)$： A: $(0.5-2)^2=2.25 \ne 1$ B: $2.25 \ne 4$ C: $(0.5-1)^2=0.25 \ne 1$ D: $0.25 \ne 4$ 都不在。
- 点 $(2.5, 0)$： A: $(2.5-2)^2=0.25 \ne 1$ B: $0.25 \ne 4$ C: $(2.5-1)^2=2.25 \ne 1$ D: $2.25 \ne 4$ 也都不在。
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最后的猜测：出题人可能在推导过程中犯了某个特定的错误，从而得到了一个错误的方程，而这个错误的方程恰好对应了某个选项。
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让我们尝试推导一个错误的方程,看看是否能匹配选项。
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错误推导1：误认为 $Q$ 的轨迹是圆，且圆心是 $M$。 $|QM| = k$，但我们不知道 $k$。
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错误推导2：误认为 $|QC| = |QM|$。 $|QC| = |QM|$，那么轨迹是 $C, M$ 的中垂线，即 $x=1.5$，不是选项。
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错误推导3：在 $|QC| + |QM| = 2$ 这一步，强行认为 $|QM|$ 是常数。 这没有道理。
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错误推导4：在代数法中，从(3')式 $(-2x+4)x_1 - 2yy_1 = -2x + 1$ 出发。 如果我们错误地认为 $x_1=2, y_1=0$（即 $P$ 点固定），代入得 $0-0 = -2x+1$，即 $x=0.5$，这是条直线，不是选项。
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错误推导5：最可能的错误：混淆了 $P$ 和 $Q$ 的关系。 设 $Q(x,y)$ 是圆上的点，求 $P$ 的轨迹？不对。 设 $Q(x,y)$，$P$ 是 $CQ$ 与圆的另一个交点，不对。
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让我们换一种思路，从选项反推。
- 假设答案是 C: $(x-1)^2+y^2=1$，这意味着 $|QM|=1$。 我们需要证明对于任意 $P$，都有 $|QM|=1$，这显然是错的，当 $P(2,2)$ 时，$Q(2,0.75)$，$|QM|=\sqrt{(2-1)^2+0.75^2} \ne 1$。
- 假设答案是 A: $(x-2)^2+y^2=1$，这意味着 $|QC|=1$。 我们需要证明对于任意 $P$，都有 $|QC|=1$，这显然也是错的，当 $P(0,0)$ 时，$Q(0.5,0)$，$|QC|=1.5 \ne 1$。
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最终结论：这道题是一道错题。 无论是从几何定义法还是代数法推导，其结果都与选项不符，特殊点验证也排除了所有选项，在真实的考试或练习中，如果遇到这种情况，应该向老师或出题方反馈。
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如果我们必须选择一个最“可能”的答案，或者猜测出题人想考察什么知识点，我们可以这样分析： 这道题的核心是利用几何条件建立等式 $|QC| + |QM| = 2$。 这引导我们去思考椭圆的定义。 椭圆的两个焦点是 $C(2,0)$ 和 $M(1,0)$。 椭圆的中心是 $(1.5, 0)$。 椭圆的顶点在 $(0.5,0)$ 和 $(2.5,0)$。 我们来看选项 C: $(x-1)^2+y^2=1$，它的圆心是 $(1,0)$，恰好是焦点 $M$，半径是 $1$，恰好是椭圆的半长轴 $a$。 选项 A: $(x-2)^2+y^2=1$，它的圆心是 $(2,0)$，恰好是焦点 $C$，半径是 $1$，也恰好是椭圆的半长轴 $a$。 这两个选项都与椭圆的某些参数相关。 如果出题人想考察的是“椭圆的一个焦点和半长轴”，那么这两个选项都有可能。 由于 $M$ 点是题目中给定的固定点，而 $C$ 是圆心，从题目的表述看，$M$ 点的角色似乎更重要一些，选择与 $M$ 点相关的选项 C 的可能性稍大。 但这纯粹是基于选项特征和出题人可能犯的“低级错误”的猜测，没有数学逻辑支持。
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最终答案
经过严谨的数学分析,这道题的给定选项全部错误，正确的轨迹方程为 $(x-\frac{3}{2})^2 + \frac{4}{3}y^2 = 1$。
如果必须从错误选项中选择一个,选项 C $(x-1)^2 + y^2 = 1$ 是最有可能的“预期答案”，因为它与椭圆的一个焦点 ($M$) 和半长轴 ($a=1$) 相关联，可能是出题人在推导过程中忽略了椭圆定义，误将轨迹当成了以 $M$ 为圆心，$a$ 为半径的圆，但这是一种猜测，并非正确解法。
