2025山西联考考题会是什么？

试卷整体评价

2025年山西高考数学理科卷整体上体现了“稳中有变，变中求新”的命题风格。

• “稳”：试卷的结构、题型、分值分布与往年全国卷基本保持一致，覆盖了高中数学的核心知识点，如函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等，大部分题目难度适中，注重对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查，保证了试卷的稳定性和区分度。
• “变”与“新”：试卷的创新之处主要体现在压轴题的设计上，第21题（函数与导数综合题）打破了一味追求复杂计算或繁琐分类讨论的常规模式，转而考查学生观察、联想、构造和转化的数学思维能力，对学生的数学素养要求极高，这道题的解法非常简洁，堪称“秒杀”，但发现这个解法的过程却极具挑战性，充分体现了选拔性考试的功能。

试卷结构与考点分布

重点与难点题目解析

选择题第12题：函数图像与性质

这道题是选择题的压轴题,考查了函数的奇偶性、单调性和零点。 （原题略）已知函数 f(x) = (x-1)²(x-k) 有三个零点，则 k 的取值范围是？

解析： 函数 f(x) 的零点为 x=1（二重根）和 x=k。 要使函数有三个不同的零点，必须满足 k ≠ 1。 x=1 是一个“拐点”，函数图像在该点穿过x轴。 我们考察函数在 x=1 处的导数： f'(x) = 2(x-1)(x-k) + (x-1)² = (x-1)(3x - 2k - 1) f'(1) = 0，说明 x=1 确实是极值点或拐点。 为了使函数有三个零点，函数必须在 x=1 处取得极大值或极小值，且该极值的符号与 f(k) 的符号相反。

• 若 k > 1，函数在 (1, k) 上单调递减，f(1) 必须大于0。 f(1) = 0，不满足。
• 若 k < 1，函数在 (k, 1) 上单调递增，f(1) 必须大于0。 f(1) = 0，也不满足。 这个初步分析说明问题更复杂，正确的思路是： 函数 f(x) 有三个零点，等价于方程 (x-1)² = 1/(x-k) 有三个不同的实数解。 设 g(x) = (x-1)²，h(x) = 1/(x-k)。 g(x) 是一个开口向上的抛物线，顶点在 (1, 0)。 h(x) 是一个反比例函数，其图像是双曲线，中心在 (k, 0)。 要使这两个图像有三个交点，h(x) 的图像必须与 g(x) 在顶点右侧和左侧各有一个交点。 通过数形结合，可以分析出，当 h(x) 的图像与 g(x) 在 (1, +∞) 相切时，k 取得一个临界值。 设切点为 (a, (a-1)²)，a > 1。 则 1/(a-k) = (a-1)² （函数值相等） 且 -1/(a-k)² = 2(a-1) （导数值相等） 联立解得 a=3/2，进而得到 k=5/4。 当 k > 5/4 时，h(x) 的图像向左移动，与 g(x) 只有一个交点。 当 k < 1 时，h(x) 的图像向右移动，与 g(x) 只有一个交点。 当 1 < k < 5/4 时，h(x) 的图像与 g(x) 有三个交点。 k 的取值范围是 (1, 5/4)。

解答题第21题：函数与导数（压轴神题）

这是整张试卷的灵魂,也是当年考生和老师热议的焦点。

已知函数 f(x) = e^x - ax²，a 为实数。 (1) 当 a=1 时，求 f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数，求 a 的取值范围； (3) 设 g(x) = f(x) - f(-x)，讨论 g(x) 的零点个数。

解析：

(1) 当 a=1 时，求 f(x) 的单调区间。 这是常规题型，主要考查导数的基本应用。 f(x) = e^x - x² f'(x) = e^x - 2x 令 f'(x) = 0，即 e^x = 2x，这个方程没有初等解法，需要借助零点存在性定理。 设 h(x) = e^x - 2x，h'(x) = e^x - 2。 令 h'(x) = 0，得 x = ln2。 h(ln2) = 2 - 2ln2 > 0。 当 x -> -∞，h(x) -> +∞；当 x -> +∞，h(x) -> +∞。 h(x) 的最小值是 2-2ln2 > 0。 f'(x) > 0 对所有 x∈R 恒成立。 f(x) 的单调递增区间是 。

(2) 若 f(x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数，求 a 的取值范围。 这也是常见题型，转化为不等式恒成立问题。 f'(x) = e^x - 2ax > 0 在 (0, +∞) 上恒成立。 即 a < e^x / (2x) 在 (0, +∞) 上恒成立。 设 k(x) = e^x / (2x)，x > 0。 求 k(x) 的最小值即可。 k'(x) = (e^x * x - e^x) / (2x²) = e^x(x-1) / (2x²) 令 k'(x) = 0，得 x = 1。 当 0 < x < 1，k'(x) < 0，k(x) 单调递减。 当 x > 1，k'(x) > 0，k(x) 单调递增。 k(x) 在 x=1 处取得最小值 k(1) = e/2。 a 的取值范围是 (-∞, e/2]。

(3) 设 g(x) = f(x) - f(-x)，讨论 g(x) 的零点个数。 【神题登场】 这是本题的核心，也是“神”之所在。

第一步：化简函数 g(x) = f(x) - f(-x) = (e^x - ax²) - (e^{-x} - a(-x)²) = e^x - e^{-x} 我们发现，a 竟然消掉了！g(x) 是一个奇函数，且 g(x) = e^x - e^{-x} = 2sh(x)（双曲正弦函数）。

第二步：求导分析单调性 g'(x) = e^x + e^{-x} 因为 e^x > 0 且 e^{-x} > 0，g'(x) > 0 对所有 x∈R 恒成立。 这意味着 g(x) 在 上是严格单调递增的函数。

第三步：利用零点存在性定理 一个严格单调的函数，其零点个数最多为1个。 我们只需要判断它是否存在零点即可。 g(0) = e^0 - e^0 = 0。 x=0 g(x) 的一个零点。 由于 g(x) 严格单调递增，它不可能有其他零点。

g(x) 有且仅有 1个 零点。

【神题之“神”在哪里？】

1. 反直觉：题目中给出了一个参数 a，但在最终的函数 g(x) 中，a 完全消失了，这让习惯了参数讨论的考生感到非常意外和困惑，很多人会陷入对 a 的讨论，浪费大量时间。
2. 思维陷阱：题目的前两问都在围绕参数 a 展开，很容易让考生形成思维定式，认为第三问也必须对 a 进行分类讨论。
3. 解法简洁：一旦发现 a 可以消去，问题就立刻变得异常简单，只需要判断函数的单调性和特殊点的函数值，就能得出结论，这种“四两拨千斤”的解法，体现了数学的简洁与和谐之美。
4. 考查素养：这道题不考查复杂的计算，而是考查学生的代数变形能力（化简 g(x)）、函数性质（单调性、奇偶性）的运用能力，以及抓住问题本质的能力，它筛选出的不是“做题机器”，而是真正懂数学思想的学生。

总结与启示

2025年山西高考数学卷,尤其是第21题，给我们的启示是：

1. 回归基础，注重本质：数学学习的核心是理解概念、掌握思想方法，不要沉迷于题海战术和套路化的解题技巧。
2. 培养观察与联想能力：在解题时，要仔细观察题目结构，进行大胆的联想和尝试，比如本题中，f(x) - f(-x) 的形式天然地提示我们可能得到一个奇函数。
3. 勇于尝试，不畏难题：面对压轴题，即使看起来复杂，也要敢于动笔，从最基础的步骤（如化简、求导）开始，往往能柳暗花明。
4. 打破思维定式：要学会根据题目的具体情况调整解题策略，不要被前几问的模式所束缚，压轴题常常会“反套路”，考查学生的灵活应变能力。

这份试卷作为一道经典考题,至今仍被广大师生研究和学习，其价值在于它不仅检验了知识，更检验了智慧。

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