题目回顾
2025年天府大联考·第16题
已知圆 $C$ 的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 9$，直线 $l$ 的方程为 $x + y - 4 = 0$。 (1) 判断直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系； (2) 设圆 $C$ 与直线 $l$ 相交于 $A$, $B$ 两点，求线段 $AB$ 的长度； (3) 若过点 $P(3, 1)$ 的直线 $m$ 与圆 $C$ 相交于 $M$, $N$ 两点，且 $|MN| = 2\sqrt{2}$，求直线 $m$ 的方程。
题目解析与解答
第一问：判断直线与圆的位置关系
【考点】 直线与圆的位置关系，判断方法主要有两种：
- 几何法：计算圆心到直线的距离 $d$，与圆的半径 $r$ 比较。
- $d < r$：相交
- $d = r$：相切
- $d > r$：相离
- 代数法：联立直线与圆的方程，消元得到一个一元二次方程，判断其判别式 $\Delta$ 的符号。
- $\Delta > 0$：相交
- $\Delta = 0$：相切
- $\Delta < 0$：相离
几何法通常更简单快捷。
【解题步骤】
-
确定圆心和半径： 圆 $C$ 的方程为 $(x-1)^2 + y^2 = 9$。 标准方程为 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$。 圆心 $C(1, 0)$，半径 $r = \sqrt{9} = 3$。
-
计算圆心到直线 $l$ 的距离 $d$： 直线 $l$ 的方程为 $x + y - 4 = 0$。 点 $(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离公式为 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。 这里，$A=1, B=1, C=-4$，圆心 $C(1, 0)$。 代入公式得： $d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$。
-
比较 $d$ 和 $r$： $d = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx \frac{3 \times 1.414}{2} \approx 2.121$。 $r = 3$。 显然，$d < r$。
直线 $l$ 与圆 $C$ 相交。
第二问：求线段AB的长度
【考点】 弦长公式，若直线与圆相交，则弦长 $L$、圆心到直线的距离 $d$ 和圆的半径 $r$ 满足勾股定理：$(L/2)^2 + d^2 = r^2$。 即：$L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$。
【解题步骤】
-
已知条件： 从第一问中，我们已经得到：
- 半径 $r = 3$
- 圆心到直线 $l$ 的距离 $d = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
-
应用弦长公式： $|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ $|AB| = 2\sqrt{3^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}$ $|AB| = 2\sqrt{9 - \frac{9 \times 2}{4}}$ $|AB| = 2\sqrt{9 - \frac{9}{2}}$ $|AB| = 2\sqrt{\frac{18}{2} - \frac{9}{2}}$ $|AB| = 2\sqrt{\frac{9}{2}}$ $|AB| = 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$。
线段 $AB$ 的长度为 $3\sqrt{2}$。
第三问：求直线m的方程
【考点】
- 弦长公式的应用。
- 点斜式求直线方程。
- 分类讨论（当直线斜率不存在时）。
【解题步骤】
-
分析已知条件：
- 点 $P(3, 1)$ 在直线 $m$ 上。
- 直线 $m$ 与圆 $C$ 相交，弦长 $|MN| = 2\sqrt{2}$。
- 圆 $C$ 的圆心 $C(1, 0)$，半径 $r = 3$。
-
利用弦长公式求圆心到直线m的距离： 设圆心 $C$ 到直线 $m$ 的距离为 $d_m$。 根据弦长公式：$|MN| = 2\sqrt{r^2 - d_m^2}$。 代入已知值： $2\sqrt{2} = 2\sqrt{3^2 - d_m^2}$ 两边同时除以2： $\sqrt{2} = \sqrt{9 - d_m^2}$ 两边平方： $2 = 9 - d_m^2$ 解得： $d_m^2 = 9 - 2 = 7$ $d_m = \sqrt{7}$ （距离为非负数）
-
设直线m的方程并求解： 直线 $m$ 的斜率存在。 设直线 $m$ 的斜率为 $k$，其方程为点斜式： $y - 1 = k(x - 3)$ 整理成一般式： $kx - y - 3k + 1 = 0$
利用点 $C(1, 0)$ 到直线 $m$ 的距离为 $\sqrt{7}$，列方程： $d_m = \frac{|k \cdot 1 - 1 \cdot 0 - 3k + 1|}{\sqrt{k^2 + (-1)^2}} = \sqrt{7}$ $\frac{|-2k + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{7}$
两边平方： $\frac{(-2k + 1)^2}{k^2 + 1} = 7$ $\frac{4k^2 - 4k + 1}{k^2 + 1} = 7$ $4k^2 - 4k + 1 = 7(k^2 + 1)$ $4k^2 - 4k + 1 = 7k^2 + 7$ 整理为标准二次方程： $3k^2 + 4k + 6 = 0$
计算判别式 $\Delta$： $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 3 \times 6 = 16 - 72 = -56 < 0$。 这说明当斜率存在时，没有实数解。
直线 $m$ 的斜率不存在。 当斜率不存在时，直线 $m$ 是一条垂直于x轴的直线。 因为直线 $m$ 过点 $P(3, 1)$，所以其方程为 $x = 3$。
验证这条直线是否满足条件： 圆心 $C(1, 0)$ 到直线 $x=3$ 的距离 $d_m$ 为： $d_m = |3 - 1| = 2$。 我们需要的距离是 $d_m = \sqrt{7}$。 因为 $2 \ne \sqrt{7}$，$x=3$ 也不是解。
【发现矛盾与重新审视】 到这里我们发现，无论是斜率存在还是不存在，都找不到符合条件的直线，这在高考或模拟题中非常罕见，通常是题目本身存在问题，或者我们的计算有误，让我们重新检查第三问的计算。
重新检查第三问：
- 弦长公式应用：$L=2\sqrt{r^2-d^2}$，代入 $L=2\sqrt{2}, r=3$。 $2\sqrt{2} = 2\sqrt{9-d^2} \implies d^2=7 \implies d=\sqrt{7}$。计算正确。
- 点斜式方程：$y-1=k(x-3) \implies kx-y-3k+1=0$。正确。
- 距离公式：$\frac{|k-0-3k+1|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|-2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}$。正确。
- 联立方程：$\frac{(-2k+1)^2}{k^2+1} = 7$。正确。
- 化简方程： $4k^2-4k+1 = 7k^2+7$ $0 = 3k^2+4k+6$。化简正确。
- 判别式：$\Delta = 16 - 4(3)(6) = 16-72=-56$。计算正确。
经过反复检查,我们的计算过程没有问题，这意味着在给定的条件下，不存在满足条件的直线 $m$，这极有可能是原题在命题时出现的笔误。
【推测原题意图】 这类问题通常有两种修改方式，使其成为一个有解的合理题目：
- 修改弦长：将弦长 $|MN|$ 改为一个更小的值，使得计算出的距离 $d_m$ 小于半径 $r=3$。
- 修改点P的坐标：将点 $P(3,1)$ 修改为圆内的一个点，如 $P(2,0)$。
【基于常见考法的解答（假设题目有笔误）】 假设题目本意是考察上述方法，我们展示一个有解的版本，我们把点 $P$ 改为 $(2, 0)$，再解一遍：
- 距离 $d_m$ 仍为 $\sqrt{7}$。
- 设直线方程为 $y-0=k(x-2)$，即 $kx-y-2k=0$。
- 圆心 $(1,0)$ 到直线的距离： $\frac{|k \cdot 1 - 0 - 2k|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|-k|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}} = \sqrt{7}$。
- 平方后：$\frac{k^2}{k^2+1} = 7 \implies k^2 = 7k^2+7 \implies -6k^2=7$，依然无解。
再尝试修改弦长,比如设 $|MN|=2\sqrt{5}$。
- $2\sqrt{5} = 2\sqrt{9-d_m^2} \implies d_m^2=4 \implies d_m=2$。
- 设直线方程为 $kx-y-3k+1=0$。
- 距离：$\frac{|-2k+1|}{\sqrt{k^2+1}} = 2$。
- 平方：$(4k^2-4k+1) = 4(k^2+1) \implies 4k^2-4k+1=4k^2+4 \implies -4k=3 \implies k=-\frac{3}{4}$。
- 此时直线方程为 $y-1=-\frac{3}{4}(x-3)$，即 $3x+4y-13=0$。
- 还需考虑斜率不存在的情况,即 $x=3$，圆心到 $x=3$ 的距离是 $|3-1|=2$，满足条件。
- 如果弦长是 $2\sqrt{5}$，答案就是 $x=3$ 或 $3x+4y-13=0$。
回到原题 由于严格按照原题计算无解，最负责任的回答是指出题目可能存在问题，但在考试中，如果时间允许，可以尝试检查自己的计算，如果确认无误，可以注明“根据计算，满足条件的直线不存在”。
【最终结论（针对原题）】 经过严谨的数学推导，在题目给定的条件下，不存在过点 $P(3, 1)$ 且与圆 $C$ 的弦长为 $2\sqrt{2}$ 的直线，原题第(3)问无解。
- 第(1)问：通过计算圆心到直线的距离，判断出直线与圆相交。
- 第(2)问：利用弦长公式，结合第一问的距离，轻松求出弦长。
- 第(3)问：通过设定直线方程，利用弦长公式反推出圆心到直线的距离，再利用距离公式建立方程求解，计算结果显示该方程无实数解，意味着原题存在瑕疵，这提醒我们，在遇到看似无解的问题时，要首先检查自己的计算过程，确认无误后，可以大胆质疑题目本身。
标签： 2025天府大联考16真题 2025天府大联考16答案 2025天府大联考16时间
